Keajaiban Matematika

ym>Pernahkah Kita berpikir tentang susunan bilangan berikut? Memang tidak terlalu penting sih…
Tapi…tidak dinyana-nyana ajaib sekali. Bukan kebetulan, tapi itulah sebenarnya matematika. Banyak hal yang akan kita dapatkan kalau kita mau mempelajari matematika.

Satu
0 x 9 + 0 = 0
1 x 9 + 1 = 10
12 x 9 + 2 = 110
123 x 9 + 3 = 1110
1234 x 9 + 4 = 11110
12345 x 9 + 5 = 111110
123456 x 9 + 6 = 1111110
1234567 x 9 + 7 = 11111110
12345678 x 9 + 8 = 111111110
123456789 x 9 + 9 = 1111111110
Ini belum apa-apa…
Perhatikan juga ini

Dua
1 x 1 = 1
11 x 11 = 121
111 x 111 = 12321
1111 x 1111 = 1234321
11111 x 11111 = 123454321
111111 x 111111 = 12345654321
1111111 x 1111111 = 1234567654321
11111111 x 11111111 = 123456787654321
111111111 x 111111111 = 12345678987654321

Tiga
1 x 8 + 1 = 9
12 x 8 + 2 = 98
123 x 8 + 3 = 987
1234 x 8 + 4 = 9876
12345 x 8 + 5 = 98765
123456 x 8 + 6 = 987654
1234567 x 8 + 7 = 9876543
12345678 x 8 + 8 = 98765432
123456789 x 8 + 9 = 987654321

Empat
1 x 18 + 1 = 19
12 x 18 + 2 = 218
123 x 18 + 3 = 2217
1234 x 18 + 4 = 22216
12345 x 18 + 5 = 222215
123456 x 18 + 6 = 2222214
1234567 x 18 + 7 = 22222213
12345678 x 18 + 8 = 222222212
123456789 x 18 + 9 = 2222222211

Lima
123456789 + 987654321 = 1111111110
1 x 142857 = 142857 (angka sama)
2 x 142857 = 285714 (angka sama beda urutan )
3 x 142857 = 428571 (angka sama beda urutan)
4 x 142857 = 571428 (angka sama beda urutan )
5 x 142857 = 714285 (angka sama beda urutan)
6 x 142857 = 857142 (angka sama beda urutan)
7 x 142857 = 999999 ( wow……suatu hasil yang Fantastis )

Enam
Bilangan sembarang jika dikalikan 9 maka jumlah hasilnya = 9
kita buktikan…..
1 x 9 = 9
2 x 9 = 18, jumlah 1 + 8 = 9
3 x 9 = 27, jumlah 2 + 7 = 9
4 x 9 = 36, jumlah 3 + 6 = 9
dst. sampai tak terhingga …..

Tujuh
22 x 9 = 198,
cara cepatnya 2 x 9 = 18, lalu selipkan angka 9 ditengah, jadi 198….okbuktikan sendiri cara cepatnya berikut ini…
33 x 9 = 297, cara cepat 3 x 9 = 27, selipkan 9 ditengah
44 x 9 = 396
55 x 9 = 495
66 x 9 = 594
77 x 9 = 693
88 x 9 = 792
99 x 9 = 891 lalu bagaimana dengan 3 angka kembar yach ….???
sama aja tuch tinggal selipkan 99 ditengahnya….
gak percaya ….kita buktikan yach…
222 x 9 = 1998, cara cepat 2 x 9= 18, selipkan 99 ditengah
333 x 9 = 2997
444 x 9 = 3996
555 x 9 = 4995

Ada yang menemukan lainnya lagi…..???
Hebat kan Matematika???…

Sumber: Math Wonders to Inspire Teachers and Students

Fibonacci (1170 – 1250)

Riwayat
Signifikansi perkembangan matematika pada abad pertengahan di Eropa seiring dengan lahirnya Leonardo dari Pisa yang lebih dikenal dengan julukan Fibonacci (artinya anak Bonaccio). Bonaccio sendiri artinya anak bodoh, tapi dia bukan orang bodoh karena jabatannya adalah seorang konsul yang wewakili Pisa. Jabatan yang dipegang ini membuat dia sering bepergian. Bersama anaknya, Leonardo, yang selalu mengikuti ke negara mana pun dia melakukan lawatan. Fibonacci menulis buku Liber Abaci setelah terinspirasi pada kunjungannya ke Bugia, suatu kota yang sedang tumbuh di Aljazair. Ketika ayahnya bertugas di sana, seorang ahli matematika Arab memperlihatkan keajaiban sistem bilangan Hindu-Arab. Sistem yang mulai dikenal setelah jaman Perang Salib. Kalkulasi yang tidak mungkin dilakukan dengan menggunakan notasi (bilangan) Romawi. Setelah Fibonacci mengamati semua kalkulasi yang dimungkinkan oleh sistem ini, dia memutuskan untuk belajar pada matematikawan Arab yang tinggal di sekitar Mediterania. Semangat belajarnya yang sangat mengebu-gebu membuat dia melakukan perjalanan ke Mesir, Syria, Yunani, Sisilia.

Mengarang buku
Tahun 1202 dia menerbitkan buku Liber Abaci dengan menggunakan – apa yang sekarang disebut dengan aljabar, dengan menggunakan numeral Hindu-Arabik. Buku ini memberi dampak besar karena muncul dunia baru dengan angka-angka yang bisa menggantikan sistem Yahudi, Yunani dan Romawi dengan angka dan huruf untuk menghitung dan kalkulasi. 
Pendahuluan buku berisi dengan bagaimana menentukan jumlah digit dalam satuan numeral atau tabel penggandaan (baca: perkalian) dengan angka sepuluh, dengan angka seratus dan seterusnya. Kalkulasi dengan menggunakan seluruh angka dan pembagian, pecahan, akar, bahkan penyelesaian persamaan garis lurus (linier) dan persamaan kuadrat. Buku itu dilengkapi dengan latihan dan aplikasi sehingga menggairahkan pembacanya. Dasar pedagang, ilustrasi dalam dunia bisnis dengan angka-angka juga disajikan. Termasuk di sini adalah pembukuan bisnis (double entry), penggambaran tentang marjin keuntungan, perubahan (konversi) mata uang, konversi berat dan ukuran (kalibrasi), bahkan menyertakan penghitungan bunga. (Pada jaman itu riba, masih dilarang). Penguasa pada saat itu, Frederick, yang terpesona dengan Liber Abaci, ketika mengunjungi Pisa, memanggil Fibonacci untuk datang menghadap. Dihadapan banyak ahli dan melakukan tanya-jawab dan wawancara langsung, Fibonacci memecahkan problem aljabar dan persamaan kuadrat.

Problem kelinci
Pertemuan dengan Frederick dan pertanyaan-pertanyaan yang diajukan oleh ahli-ahli tersebut, dibukukan dan diterbitkan tidak lama kemudian. Tahun 1225 dia mengeluarkan buku Liber Quadrotorum (buku tentang Kuadrat) yang dipersembahkannya untuk Sang raja. Dalam buku itu tercantum problem yang mampu mengusik “akal sehat” matematikawan yaitu tentang problem kelinci beranak-pinak Pertanyaan sederhana tapi diperlukan kejelian berpikir. 

“Berapa pasang kelinci yang akan beranak-pinak selama satu tahun. Diawali oleh sepasang kelinci, apabila setiap bulan sepasang anak kelinci menjadi produktif pada bulan kedua”

- Akhir bulan kedua, mereka kawin dan kelinci betina I melahirkan sepasang anak kelinci beda jenis kelamin.
- Akhir bulan kedua, kelinci betina melahirkan sepasang anak baru, sehingga ada 2 pasang kelinci.
- Akhir bulan ketiga, kelinci betina I melahirkan pasangan kelinci kedua, sehingga ada 3 pasang kelinci.
- Akhir bulan keempat, kelinci betina I melahirkan sepasang anak baru dan kelinci betina II melahirkan sepasang anak kelinci, sehingga ada 5 pasang kelinci.
Akan diperoleh jawaban: 55 pasang kelinci. Bagaimana bila proses itu terus berlangsung seratus tahun? Hasilnya (contek saja): 354.224.848.179.261.915.075. 
Apakah ada cara cepat untuk menghitungnya? Di sini Fibonacci memberikan rumus bilangan yang kemudian dikenal dengan nama deret Fibonacci.

Deret Fibonacci
Orang Kristen menolak angka nol; namun pedagang dalam melakukan transaksi membutuhkan angka nol. Alasan yang dipakai oleh Fibonacci adalah nol sebagai batas. Apabila diperoleh hasil negatif berarti kerugian. Orang yang mengenalkan angka nol ini ke dunia Barat adalah Leonardo dari Pisa. Meskipun ayahnya seorang Konsul sekaligus pedagang, profesi Fibonacci – tidak mau menjadi konsul, adalah seorang pedagang. Anak muda – yang lebih dikenal dengan nama Fibonacci – belajar matematika dari orang-orang Islam dan menjadi matematikawan piawai dengan cara belajar sendiri. Menemukan deret bilangan yang diberi nama seperti namanya.
Deret Fibbonacci yaitu: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987 …
Pola deret di atas terbentuk dari susunan bilangan berurutan (dari kecil makin besar) yaitu merupakan penjumlahan dua bilangan sebelumnya. Angka 3, urutan keempat, adalah hasil penjumlahan 1 (urutan 2) + 2 (urutan 3); angka 5 urutan kelima, adalah hasil penjumlahan 2 (urutan 3) + 3 (urutan 4); angka 8 urutan keenam, adalah hasil penjumlahan 3 (urutan 4) + 5 (urutan 5) dan seterusnya. Deret di atas mampu menjawab problem kelinci beranak-pinak, alur bunga lily, pola dan jumlah mata nanas, jumlah kelopak dan alur spiral bunga jenis-jenis tertentu. Lewat deret Fibonacci ini dapat diketahui diketahui urutan atau alur yang akurat pada alam. Ukuran ruangan binatang berkulit lunak (moluska) yang berbentuk spiral, nautilus *; jumlah searah jarum jam atau berlawanan jarum jam ‘mata‘ nanas, jumlah kelopak bunga matahari dan ada 2 alur spiral (ke kanan 34 dan ke kiri 55) sesuai dengan deret Fibonacci.

Kaitan dengan nisbah emas
Nisbah emas sudak dikenal sejak jaman Pythagoras. Disebutkan bahwa alam tampaknya diatur oleh nisbah emas. “Kesaktian” nisbah ini mendasari arsitektur bangunan jaman dahulu, khususnya di Yunani. Bentangan pilar dan tinggi Panthenon merupakan perbandingan hasil nisbah emas.
Perhatikan hasil pembagian bilangan-bilangan pada deret Fibonacci di bawah ini.

1/1; 2/1; 3/2; 5/3; 8/5; 13/8; 21/13; 34/21; 55/34; 89/55; 144/89…

Pola apa yang terjadi? Bilangan hasil pembagian menunjukkan sesuatu yang istimewa sehingga disebut dengan seksi emas (golden section). Nama ini mirip dengan nisbah emas. Memang ada hubungan erat antara seksi emas dan nisbah emas seperti dapat dilihat pada tabel dan gambar di bawah ini.

 

Deret	1	2	3	5	8	13	21	34	55	89	144
Pembagi	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55	89
Hasil	1	2	1,5	1,66	1,6	1,625	1,615	1,619	1,617	1,618	1,618

 

Barangkali kenyataan ini mampu menjawab pertanyaan mengapa deret Fibonacci mendekati nisbah emas.

Ambil contoh dua bilangan: a, b, a+b (deret Fibonacci) dan b/a (nisbah emas) kemudian diperbandingkan

b/a ≈ (a+b)/b 
b/a (nisbah emas) ≈ a/b + 1 (seksi emas)

Substitusikan nisbah emas dengan notasi Φ (phi) untuk persamaan di atas.

Φ = 1/Φ + 1 (kalikan ruas kiri dan kanan dengan F) hasil:
Φ² - Φ – 1 = 0

Φ = (1+ √5)/2 ≈ 1,618

Revolusi Fibonacci
Topik dalam buku Liber abaci juga menjelaskan proses aritmatik, termasuk cara mencari akar bilangan. Problem-problem dalam buku ini lebih ditekankan untuk penggunaan dalam transaksi perdagangan, sistem pecahan untuk menghitung pertukaran mata uang. Fibonacci menggunakan pecahan – biasa, bilangan berbasis enam puluh (seksadesimal) dan satuan – bukan bilangan berbasis sepuluh (desimal). Penulisan 5/12 28 biasa kita kenal sebagai 28 5/12. Dia juga menempatkan bilangan pecahan berupa komponen-kompenen yang belum dijumlah. Penulisan 115/6, sebagai contoh, ditulis dengan 1/3 ½ 11. Tidak puas dengan kebingungan ini pecahan satuan ternyata lebih membingungkan. Pecahan 98/100, sebagai contoh, dipecah menjadi 1/100 1/50 1/5 ¼ ½, dan 99/100 ditulis dengan 1/25 1/5 ¼ ½. 
Masih belum jelas, terlebih notasi:

1 6 2 
2 9 10
yang berarti:

     1      +      6     +     2    
2.9.10        9.10        10

Barangkali sangatlah mengherankan, pedagang jaman kuno sudah mampu mengoperasikan sistem bilangan sebegitu rumitnya. Penulisan pecahan di atas diadopsi dari sistem bilangan Byzantium.

* Jangan salah mengartikan dengan Nautilus yang menjadi nama kapal selam pada buku karangan Jules Verne “20.000 Leagues Under the Sea”

Sumbangsih
Mengenalkan angka nol dan menghitung pola-pola alam tidak lazim sekaligus memberi dasar pada pengenalan aljabar ke dunia Barat adalah sumbangsih terbesar Fibonacci. Mampu menciptakan deret Fibonacci yang memberi jawaban atau alasan tentang pola alam seperti yang dijabarkan dalam nisbah emas. Adopsi angka nol untuk penulisan dan melakukan perhitungan di Eropa – mengubah sistem bilangan Romawi yang tidak efisien – dengan sistem bilangan Hindu-Arabik ini kelak sangat mempengaruhi perkembangan matematika di benua Eropa. Sistim bilangan pecahan Fibonacci yang rumit, kemudian disederhanakan untuk kepentingan perdagangan. Perhatikanlah perubahan harga saham-saham yang diperdagangkan di Wall Street menggunakan sistem pecahan. 

Memikat dengan Rumus-rumus “Cepat”

ym>>Fakta menunjukkan bahwa di negeri kita saat ini banyak tumbuh dan bermunculan lembaga-lembaga yang menamakan dirinya sebagai lembaga bimbingan belajar. Atau, saya lebih senang menyebutnya sebagai lembaga bimbingan tes. Utamanya, lembaga semacam ini menawarkan jasa pada siswa-siswa sekolah berupa iming-iming keberhasilan dalam menempuh ulangan umum sekolah, ujian akhir sekolah, ujian akhir nasional, ataupun ujian masuk perguruan tinggi (negeri).

Yang dilakukan lembaga-lembaga bimbingan tes untuk menyedot siswa agar “bergabung” dengan mereka biasanya adalah dengan cara menawarkan strategi-strategi praktis dalam menghadapi tes, ulangan, ataupun ujian. Strategi-strategi praktis itu bisa berupa: stategi menjawab soal-soal, atau juga penggunaan rumus-rumus “cepat” untuk menyelesaikan soal-soal khususnya pelajaran matematika atau IPA (fisika ataupun kimia).

Dari ngobrol-ngobrol dengan beberapa siswa yang pernah menjadi peserta di lembaga bimbingan tes, saya memperoleh beberapa informasi penting. Katanya, yang paling membuat mereka tertarik “bergabung” adalah karena di bimbingan tes mereka dilatih untuk menyelesaikan soal-soal (baik matematika, fisika, kimia atau yang lainnya) dengan menggunakan rumus-rumus “cepat”. Sehingga dalam waktu singkat dapat menyelesaikan soal-soal yang diujikan. Selain itu, mereka juga dilatih tips and trik menjawab berbagai jenis soal. Pokoknya katanya, cara menjawab soal-soal yang dilatihkan itu sangat berbeda ketimbang yang diajarkan di sekolah. Di sekolah, misalnya untuk menjawab soal A perlu proses yang panjang dan berliku, sedang di bimbingan tes soal A dapat diselesaikan hanya dalam satu atau dua baris langkah pengerjaan saja.

Sedangkan dari beberapa diktat yang dikeluarkan lembaga-lembaga bimbingan tes tersebut saya pun bisa dapatkan informasi penting lainnya. Dari pengamatan saya, isi diktat-diktatnya berupa: rangkuman materi + rumus-rumus “biasa” + rumus-rumus “cepat” dan ratusan hingga ribuan latihan soal-soal beserta kunci jawabnya. Namun sayang, kata teman saya yang merupakan pengajar di salah satu bimbingan tes ternama di negeri ini, rumus-rumus “cepat” yang tertulis di diktat-diktat tersebut hanyalah rumus-rumus “cepat” yang sudah beredar secara luas. Sedangkan rumus-rumus “cepat” yang super “cepat” tetap dirahasiakan, tak dipublikasikan untuk umum. Hanya para perancang rumus, pengajar, dan siswa-siswa yang “bergabung” di tempat mereka saja yang tahu. Lebih lanjut katanya, masing-masing lembaga bimbingan tes mempunya rumus-rumus super “cepat” sendiri-sendiri hasil kreasi tim mereka, yang tentunya saling mereka rahasiakan.

Dari uraian di atas, tampaknya faktor penggunaan rumus-rumus “cepat” bagi suburnya perkembangan lembaga bimbingan tes cukup sentral, sangat penting. Walau mungkin bukanlah faktor utama. Sehingga, dapat dikatakan bahwa penggunaan rumus-rumus “cepat” bisa dijadikan salah satu faktor penting untuk memikat siswa agar mau “bergabung” mengikuti bimbingan tes.

Bicara tentang rumus-rumus “cepat” dan penggunaannya untuk menjawab tes, ada pro dan kontranya. Banyak yang pro tapi tak sedikit juga yang kontra. Dari hasil pengamatan pribadi dan ngobrol-ngobrol, saya bisa menuliskan beberapa alasan pihak yang pro dan yang kontra tersebut seperti berikut ini.

Beberapa alasan orang-orang yang pro terhadap penggunaan rumus-rumus “cepat” (matematika, fisika, kimia) itu di antaranya:

• Membantu siswa dengan cepat berhasil dalam menjawab tes (ulangan, ujuan sekolah, ujian masuk perguruan tinggi).

Sulit untuk dimungkiri bahwa dengan adanya rumus-rumus “cepat” banyak siswa yang terbantu dalam menjawab soal-soal tes dengan cepat. Membantu siswa melewati “jembatan” kelulusan sekolah. Pun membantu mengantar para siswa meraih cita-citanya untuk masuk ke perguruan tinggi idamannya.

Sebagai contoh, perhatikan satu soal berikut:

Soal: Jika  maka  =….

Bila kita menggunakan cara biasa, perlu lebih dari tiga “baris = langkah” untuk menyelesaikannya. Sedangkan bila memakai rumus “cepat” soal semacam ini bisa diselesaikan hanya dengan dua “baris =langkah” pengerjaan.

Dengan contoh-contoh penggunaan rumus-rumus “cepat” semacam ini, siswa mana yang tak terpikat menggunakannya?

• Membantu pemerintah untuk mengurangi pengangguran.

Bagaimana bisa penggunaan rumus-rumus “cepat” bisa membantu mengurangi pengangguran? Seperti yang sudah diuraikan di atas, dengan adanya rumus-rumus “cepat” perkembangan bimbingan tes makin subur. Nah, karena saking tumbuh suburnya, tentu lembaga-lembaga ini butuh tenaga pengajar. Karena itulah banyak lulusan perguruan tinggi yang belum dapat pekerjaan biasanya dengan rela hati menjadi pengajar atau perancang soal di lembaga semacam ini. Sementara mencari pekerjaan tetap, mereka bisa sambil bekerja di lembaga-lembaga bimbingan tes. Bahkan banyak juga yang akhirnya memutuskan untuk menjadi pengajar saja, dan (mungkin) pelan-pelan melupakan bidang keahliannya yang pernah ditekuninya semasa di perguruan tinggi dulu. Selain pengajar atau perancang soal, tentunya sang pemilik lembaga semacam ini sebagai pelaku busines juga terbantu. Mereka punya lahan baru dalam dunia beginian. Busines dalam di dunia pendidikan.

• Meningkatkan kreativitas perancang rumus-rumus “cepat”, pembuat soal, dan para “businessman” pendidikan.

Biasanya, para perancang rumus-rumus “cepat” atau pembuat soal itu adalah orang-orang luar biasa di bidangnya. Mungkin sebelum adanya lembaga bimbingan tes, rumus-rumus “cepat” hasil kreasi mereka hanya dipakai untuk kalangan pribadi. Tapi kini, dengan adanya lembaga bimbingan tes, kreasi mereka tersalurkan. Mereka semakin tertantang untuk menemukan umus-rumus “cepat” baru untuk menjawab soal. Mereka juga terpacu membuat soa-soal baru yang mungkin hanya bisa diselesaikan dengan rumus-rumus baru temuan mereka. Untuk menambah kredibilitas lembaga bimbingan tes, tak sungkan-sungkan para perancang rumus-rumus “cepat” atau pembuat soal itu oleh sang businessman diambil dari kalangan perguruan tinggi (ternama).

Para businessman pendidikan pun akan makin terpacu untuk memasarkan jasa mereka ke konsumen. Dengan segenap kemampuan, mereka menggembor-gemborkan jasanya. Tentunya kreativitas dan strategi pemasaran sangat dibutuhkan dalam hal ini.

Mungkin saja Anda yang pro terhadap penggunaan rumus-rumus “cepat” ini mempunyai alasan lain. Silakan menambahinya di kolom komentar!

Sedangkan bagi mereka yang kontra alias tak setuju dengan penggunaan rumus-rumus “cepat” juga mempunyai alasan-alasan. Beberapa alasan tersebut di antaranya seperti berikut ini.

• Menjerumuskan siswa ke jurang kebodohan

Bila dilihat sepintas, penggunaan rumus-rumus “cepat” sepertinya cukup membantu siswa untuk berhasil dalam ulangan ataupun ujian. Namun, sebenernya seringkali bisa menjerumuskan siswa ke jurang kebodohan bila penggunaannya tak dilandasi oleh pemahaman, hanya mengandalkan hafalan rumus tanpa pengertian. Ini artinya, proses berfikir tak begitu diperhatikan, tidak dianggap penting. Akibatnya siswa-siswa terbiasa cepat ingin ketemu hasil akhir, maunya serba instant, ingin mudah dan cepat tanpa mau bersusah payah.

Secara ekstrem, ada kawan saya yang mengatakan bahwa penggunaan rumus-rumus “cepat” harusnya dilarang keras, karena sebenarnya merupakan cara-cara yang mengarah pada pembodohan generasi penerus bangsa. Juga katanya, mungkin saja benar bahwa dengan menggunakan rumus-rumus “cepat”, banyak siswa terbantu bisa masuk perguruan tinggi idamannya. Tapi, bantuan yang diberikan itu sangat tanggung, setengah-setengah. Ibaratnya, setelah siswa diantar masuk perguruan tinggi misalnya, siswa dibiarkan begitu saja, dibiarkan terjerumus, dibiarkan secara tak bertanggung jawab.

Di satu kesempatan lain, saya pernah mendengar cerita bahwa di salah satu perguruan tinggi, siswa-siswa produk bimbingan tes yang terbiasa menggunakan rumus-rumus “cepat” tanpa dilandasi pemahaman banyak yang kesulitan mengikuti perkuliahan, bahkan banyak di antara mereka terpaksa DO (Drop Out) tak sanggup mengikuti materi perkuliahan. Sedangkan siswa-siswa yang secara alami tak tercemar oleh bimbingan tes justru berhasil dengan baik dalam belajarnya.

• Merusak tercapainya tujuan pendidikan

Tujuan pendidikan secara umum, biasanya tertuang di kurikulum pendidikan, ringkasnya adalah, “untuk mengembangkan sumberdaya manusia yang kreatif, konstruktif, produktif, bertanggung jawab, berdisiplin, beriman dan bertakwa.” Nah, apakah dengan penjejalan penggunaan rumus-rumus “cepat” pada siswa tanpa dilandasi pengertian memungkinkan tercapainya tujuan tersebut?

Bagi pembaca yang kontra alias tak setuju dengan penggunaan rumus-rumus “cepat” silakan menambahi alasannya!

Nah, kalau saya sendiri termasuk yang pro atau yang kontra nih? 

Ya sudah segitu dulu saja, sampai jumpa di tulisan berikutnya.

Catatan: Rumus-rumus cepat yang saya maksud bisa berupa rumus-rumus cepat dalam matematika, fisika, kimia, atau mata pelajaran lainnya.

Belajar Trigonometri dengan Menyenangkan

BANYAK matematikawan mengatakan trigonometri adalah permainan sejati matematika. Di sana tersaji banyak rumus dan permainan yang sejatinya menggunakan rumus–rumus itu untuk membuktikan identitas trigonometri. Tapi apa yang mengasyikkan bagi matematikawan ini, ternyata bagi siswa justru the horror material.

Trigonometri justru salah satu kompetensi yang dikeluhkan siswa karena banyaknya rumus yang tidak saja harus dihafal tetapi juga memerlukan pemahaman tinggi dalam penerapannya. Di sinilah tantangan guru agar trigonometri tidak ditakuti siswa. Syukur–syukur siswa menyenanginya dan merasa tertantang untuk memecahkan masalah yang ada. Untuk itu diperlukan pembelajaran yang menyenangkan.

Pembelajaran Menyenangkan
Menurut Gagne, motivasi memegang peranan utama yang menyebabkan seseorang tergerak hatinya meraih suatu tujuan dengan senang hati. Oleh karenanya, guru harus menyiapkan kondisi–kondisi belajar siswa agar timbul dorongan untuk belajar. 
Johnson mengatakan beberapa cara pemberian motivasi kepada siswa. Di antaranya yang pertama, guru memiliki kebiasaan mengajar yang baik. Misalnya mengajar tepat waktu, sering berkeliling ke seluruh siswa untuk memantau pekerjaan siswa. Selalu mengkontrol kesiapan siswa utamanya kelengkapan alat tulis sebagai salah satu bentuk disiplin dalam mengikuti pelajaran matematika. Selalu siap menjawab pertanyaan yang diajukan siswa dan melakukannya dengan jelas, sistematis serta nada suara ramah. Kedua, guru memberikan kesempatan yang adil kepada seluruh siswa untuk menjawab pertanyaan yang diberikan. Guru perlu memahami tingkat pemahaman setiap anak, sehingga dapat memberikan pertanyaan yang tepat agar siswa mampu menjawabnya. Keberhasilan menjawab ini sangat penting karena dapat menimbulkan rasa besar hati dan kepercayaan diri akan kemampuannya memecahkan persoalan. 
Pada pembelajaran trigonometri, guru dapat menggunakan jembatan keledai (mnemonics) untuk membantu siswa menghafal rumus–rumus yang ada. Misalnya pada pengertian perbandingan trigonometri, guru dapat mengenalkan Sindemi (sinus–depan–miring), cosami (cosinus–samping–miring), dan tandesa (tangen–depan– samping). Atau dapat menggunakan istilah cosahi (cosinus-adjascent-hypotenuse), sinohi (sinus-opposite-hypotenuse) dan tanopa (tangen-opposite-adjascent).
Demikian pula pada relasi sudut, salah satu jembatan keledai yang bisa dipakai, misalnya Semua Surat Tanda Cinta. Di kuadran I, semua perbandingan trigonometri bernilai positif, di kuadran II hanya sinus, di kuadran III hanya tangen dan di kuadarn IV hanya cosinus beserta kebalikannya.
Bagaimana menghafal nilai perbandingan trigonometri untuk sudut istimewa ? Tuhan memberikan segala sesuatu dengan manfaat. Kita dapat menggunakan jari–jari sebagai media pembelajaran. Setiap jari memiliki nilai. Dimulai dari kelingking dengan nilai ½?0, dilanjutkan ke jari manis dan seterusnya dengan nilai masing–masing ½?1, ½?2, ½?3 dan terakhir ibu jari dengan nilai ½?4.  Adapun sudut istimewa yang direlasikan adalah 0o,30o,45o,60o dan 90o. Perbandingan trigonometri untuk cosinus direlasikan dari ibu jari, sementara untuk sinus direlasikan dari kelingking.
Siswa seringkali lupa rumus luas segitiga sembarang. Apakah menggunakan sinus ataukah cosinus. Di sini dapat digunakan jembatan SISUSI(N), yaitu syarat dapat ditentukannya luas suatu segitiga adalah jika diketahui sisi, sudut apit dan sisi, dengan menggunakan perbandingan trigonometri sinus.
Pada rumus yang lain, misalnya pada rumus jumlah dan selisih dapat dirangkai melalui lagu yang sedang tren, atau justru menggunakan lagu anak–anak masa lalu yang dipastikan semua siswa hafal nadanya. Bahkan guru dapat meminta siswa untuk menciptakan sendiri jembatan keledai yang disusunnya. Mungkin berbentuk lagu atau puisi untuk kemudian ditampilkan di depan kelas. Variasi pembelajaran demikian akan menciptakan suasana kelas meriah dan diharapkan membangkitkan minat menghafal rumus yang ada. Suasana berbeda dapat pula diciptakan melalui kegiatan di luar kelas. Siswa dapat mempraktekkan perbandingan trigonometri dengan mengukur tinggi tiang bendera, menaksir tinggi pohon, menaksir tinggi seseorang berdasarkan panjang bayangannya, menaksir lebar sungai dan sebagainya.

Pendekatan SANI
Menurut Marpaung, perlu pendekatan SANI dalam proses pembelajaran. SANI disini diartikan sebagai santun, terbuka dan komunikatif. Pada dasarnya belajar adalah proses interaksi. Baik antara siswa dengan guru, maupun siswa dengan siswa. Pendekatan yang baik di antara semuanya akan menumbuhkan motivasi belajar tinggi. Jalinan komunikasi dapat pula diciptakan dengan penyajian ice breaking. Guru dapat menyelipkan games, menyajikan presentasi motivasi, meminta siswa sejenak berdiri menggerak–gerakkan anggota badan melepas penat, atau bahkan sekadar menampilkan gambar–gambar lucu untuk memancing tawa siswa serta mengizinkan siswa mendengarkan musik ketika mengerjakan soal–soal latihan sepanjang tidak mengganggu siswa lain. Suasana relaks ini  penting dihadirkan agar siswa memiliki sedikit waktu jeda untuk istirahat berfikir. Oleh sebab itu, hukuman maupun celaan mestinya bukanlah sesuatu yang ada dalam proses belajar. Hukuman dapat diganti dengan bimbingan agar pembelajaran tumbuh menyenangkan. Kiat–kiat di atas mudah–mudahan membuat siswa kita menyenangi matematika, khususnya pada kompetensi trigonometri. Setuju? (*)

ilmu sulap matematika

Cobalah kawan ... coba bayangkan...

Suatu bilangan berapa saja....

Asalkan dia lebih dari nol angkanya...

 Jika sudah...wahai kawan...

Coba kalikan lah dengan empat,

Maka kini kau t'lah dapatkan hasilnya...

 Sekarang kau coba kawan...

Hasil kali tadi kau tambah enam belas...

Kini kau telah dapat angka yang baru...

 Angka yang baru kau dapat...kawan,

Bagilah dengan angka empat,

Sekarang kau dapatkan angka terbaru...

 Nah, angka terbarumu...wahai kawan...

Coba kurangi dengan angka...

Yang sejak semula kau bayangkan...

 Maka ku yakin ...kawan

Pastilah dan tiada lainlah...

Kau dapatkan empat hasilnya.

surat cintaku ala matematika

Untuk … tersayang

Tiga minggu yang lalu…
Untuk pertama kalinya kulihat kau berdiri tegak lurus lantai
Kulihat alismu yang berbentuk setengah lingkaran dengan diameter 4 cm
Saat itulah kurasakan sesuatu yang lain dari padamu
Kurasakan cinta yang rumit bagaikan invers matriks berordo 5×5

Satu minggu kemudian aku bertemu kau kembali…
Kurasakan cintaku bertambah,
bagaikan deret divergen yang mendekati tak hingga
Limit cintaku bagaikan limit tak hingga
Dan aku semakin yakin,
hukum cinta kita bagaikan
hukum kekekalan trigonometri sin2+cos2 = 1

Kurasakan dunia yang bagaikan kubus ini menjadi milik kita berdua
Dari titik sudut yang berseberangan,
kau dan aku bertemu di perpotongan diagonal ruang

Semakin hari kurasakan cintaku padamu
bagaikan grafik fungsi selalu naik yang tidak memiliki nilai ekstrim.
Hanya ada titik belok horizontal yang akan selalu naik
Kurasakan pula kasihku padamu
bagaikan grafik tangen (90o <>

Romantika Matematika

Di dalam bumi dan pikiran,
Di dalam angka dan kehidupan,
Kutemukan alam pikiran,
Untuk merumuskan angka-angka alam

Aku adalah bilangan ganjil,
Aku adalah bilangan genap,
Aku adalah bilangan prima,
Jadilah aku sebuah bilangan

Semua ini merupakan suatu analisa,
Analisa yang muncul dalam persamaan-persamaan,
Persamaan linier telah terumuskan,
Muncul pula persamaan kuadrat,

Semua telah dianalisa dalam kehidupan,
Oleh sebuah angka dan persamaan,
Persamaan yang telah mengubah dunia,
Dunia di dalam waktu dan ketepatan

Dunia penuh dengan analisa yang cepat,
Dengan waktu yang gemetar,
Lihatlah hidup telah menguasai,
Lihatlah hidup penuh tanda tanya

Mengapa tak dapat terpecahkan,
Di mana kita harus menganalisa?
Di mana kita harus bertanya?
Bertanyalah dengan rasa, pikir, dan kehidupan

Inilah rumusan yang lepas dari mata yang jernih,
Mata seni, mata budaya, mata politik,
Mungkin dengan mata kehidupan,
Inilah nyanyianku, mengertilah romantika matematika.

kkrEn kan >>>>>>>.

Perbedaan antara angka dengan bilangan

Sebuah angka digunakan untuk melambangkan bilangan, suatu entitas abstrak dalam ilmu matematika. Tetapi bagi orang-orang awam, angka dan bilangan seringkali dianggap dua entitas yang sama. Mereka pun umumnya menganggap angka dan bilangan sebagai bagian dari matematika.

Memang bahasa Indonesia belum cukup baku sebagai alat komunikasi dalam ilmu dan sains, sehingga belum ada konsesus resmi bahwa 'angka' dan 'bilangan' melambangkan dua hal yang sangat berbeda. Demikian pula, kedua kata angka dan bilangan masih sering dipertukarkan dengan kata nomor.

Kata nomor biasanya menunjuk satu atau lebih angka yang melambangkan sebuah bilangan bulat dalam suatu barisan bilangan-bilangan bulat yg berurutan. Misalnya kata 'nomor 3' menunjuk salah satu posisi urutan dalam barisan bilangan-bilangan 1, 2, 3, 4, ..., dst. Jadi kata nomor sangat erat terkait dengan pengertian 'urutan'.

Arti kata 'angka' lebih mendekati arti kata 'digit' dalam bahasa Inggris. Nampaknya belum ada kata dalam bahasa Indonesia yang merupakan terjemahan secara tepat dari 'digit'. Dalam hal ini, sebuah atau beberapa angka lebih berperan sebagai lambang tertulis atau terketik dari sebuah bilangan. Sesuai dengan arti kata 'digit', lebih baik pengertian angka dibakukan dengan batasan agar hanya ada sepuluh angka yang berbeda: 0, 1, 2 ..., 9.

Untuk memperjelas pengertian angka seperti diuraikan dalam paragraf terakhir, berikut diberikan dua contoh penggunaannya.

"Bilangan sepuluh ditulis dengan dua buah angka (double digits), yaitu angka 1 dan angka 0.",

"Inflasi di Zinbwabe mencapai 3 angka (three digits)" (Maksudnya, inflasi di Zinbwabe sudah mencapai paling sedikit 100%, sebab bilangan 100 adalah bilangan dengan nilai terendah yang bisa ditulis dengan tiga angka).

Dalam sistem bilangan biner (binary number system), yaitu sistem bilangan basis 2, hanya digunakan dua angka: 0 dan 1, untuk menyatakan sembarang bilangan bulat. Misalnya, deretan tiga angka 101 dalam sistem biner melambangkan bilangan 3 dalam sistem bilangan basis 10.

Tanpa penjelasan lebih jauh, kata 'bilangan' di sini selalu diartikan bilangan dalam sistem basis 10.

bwatan diri sendiri!!!!

Memposisikan Aljabar Sebagai Putra Mahkota Matematika

Pada era sebelum tahun tujuh puluhan, kurikulum menyajikan ilmu hitung sebagai salah satu mata ajar dengan materi pokok mencongak sebagai menu utama. Para murid kelas tiga di beberapa tingkat pendidikan sekolah dasar dituntut untuk dapat menguasai hitungan pipolondo (ping atau perkalian, poro atau pembagian, lan atau penjumlahan, dan sudo atau pengurangan) dengan pendekatan hafalan. Sementara itu, para guru di beberapa sekolah tersebut memberikan berbagai variasi soal berupa pertanyaan yang terkesan mendadak dan mengharuskan siswanya pada posisi sanggup menjawab pertanyaan guru dengan jawaban hafalan.
Pada perkembangannya, penguasaan ilmu hitung siswa tidak dilandasi proses berpikir analitis melainkan menghafal. Sebuah pendekatan yang kurang tepat untuk mata ajar yang mengacu pendekatan teoritis dan analitis. Hal ini bagi para siswa yang daya ingatnya kurang setia akan menimbulkan dampak bahwa materi ilmu hitung menjadi salah satu dari sekumpulan mata pelajaran (mapel) momok yang menakutkan di berbagai jenjang sekolah.
Perubahan kurikulum yang disesuaikan dengan situasi, kondisi dan perkembangan dunia pendidikan, mengelompokkan berbagai cabang ilmu dalam satu kesatuan. Mata ajar seperti ilmu hitung, ilmu ukur ruang dan sudut yang tadinya berdiri sendiri, kemudian dirangkum dalam satu kesatuan mapel matematika dengan beban belajar yang terdiri atas cabang-cabang aritmetika, geometri, trigonometri, kalkulus, dan aljabar, sebuah mapel yang bagi beberapa siswa akan memunculkan kesan sebagai mapel dengan beban belajar yang luas dan kompleks cakupannya. Meskipun demikian, pada pelaksanaan pembelajarannya oleh beberapa guru matematika masih dipisah-pisahkan secara bijak dan dengan pendekatan persuatif sebagai upaya membangun citra matematika agar menjadi mapel yang bisa dikuasai peserta didiknya tanpa beban dan rasa takut.
Akhirnya, kurikulum yang berlaku sekarang malahan lebih tidak memberikan ruang gerak dari cabang-cabang ilmu matematika secara spesifik di dalam proses belajar mengajar. Hal ini dapat memberikan kesan bahwa mapel matematika sekarang lebih kompleks dan membingungkan bagi siswa. Apalagi untuk dapat menguasai satu demi satu cabang-cabang mapel tersebut.
Mapel matematika yang tadinya biasa disebut-sebut sebagai induk dari ilmu pengetahuan dimana seharusnya muncul istilah “jika menguasai matematika pada gilirannya akan mudah pula menguasai mapel lain”, akan menimbulkan dampak kurang baik dalam mempelajari berbagai cabang ilmu yang lain di sekolah. Karena oleh sebagian siswa dirasakan begitu sulit dan kompleksnya hanya untuk mempelajari matematika saja.
Istilah “aljabar sebagai putra mahkota dari mapel matematika”, memberikan angin segar untuk keluar dari kesulitan di dalam mempelajari matematika. Jika dalam proses pembelajaran, pendekatan dan metode yang digunakan guru tepat.
Peluang ini dapat memberikan ruang gerak bagi para guru matematika untuk bisa memberikan kesan mendalam kepada siswanya di dalam mempelajari cabang aljabar. Materi seperti logika matematika yang pada perkembangannya sudah melebar ke dalam cabang mapel bahasa Indonesia, oleh guru matematika dapat lebih intensif diberikan kepada siswa agar pada gilirannya, siswa mampu menangkap soal-soal verbal yang dapat dikomunikasikan ke dalam logika matematika. 
Sementara itu, materi persamaan dan pertidaksamaan aljabar dapat digunakan sebagai media pendekatan pada cabang-cabang lain seperti trigonometri dengan identitas trigonometrinya, dan kalkulus dengan deferensial dan integralnya. Tidak kalah pentingnya, agar tidak menyimpang dari kepentingan kurikulum, materi-materi kontekstual juga diberikan dengan mengutamakan kerangka berpikir yang lebih mudah dijangkau oleh alam pikir siswanya. Soal-soal verbal yang dapat dikomunikasikan dengan pendekatan logika matematika menjadi warna yang mampu memberikan kesan mendalam bagi para siswa dalam menguasai mapel matematika.
Dengan komunikasi yang logis dan kerangka berpikir yang bisa terjangkau oleh sebagian besar siswa kalau perlu oleh keseluruhan siswa, aljabar menjadi tangan panjang cabang-cabang ilmu lain di mapel matematika. Bahkan kerangka berpikirnya dapat juga diproyeksikan ke mata pelajaran dan sains lain yang bersifat analitis.
Berbagai pendekatan dan metode mengajar yang sesuai tingkat kesulitan materi hendaknya bisa dilakukan guru untuk mengantar siswanya agar mampu menggunakan aljabar sebagai dasar pemikiran di dalam mempelajari matematika atau mapel lain dengan tepat.
Karakteristik dari materi aljabar tersebut menunjukkan bahwa aljabar memang merupakan putra mahkota dari mapel matematika. Oleh karenanya sudah selayaknya para guru hendaknya dapat memposisikan aljabar menjadi putra mahkota matematika bagi para siswanya dalam belajar mapel matematika.
Sudah menjadi istilah umum bahwa matematika adalah salah satu induk dari ilmu pengetahuan di samping bahasa, dan aljabar adalah putra mahkota dari mapel tadi. Oleh karenanya, semoga semua komponen pendidikan dan para siswa sebagai subyek pendidikan hendaknya dapat menempatkan aljabar pada posisi putra mahkota mapel matematika sedemikian hingga kerangka berpikirnya dapat dikomunikasikan di dalam mempelajari materi-materi lain pada mapel matematika dan jika dimungkinkan juga pada materi-materi dari mata pelajaran yang lain. Amiienn!!!!!!!. 

 ni jgA ku thu dari guru les ku

Tips Jenius berhitung Matematika Dalam Sekejap

Sebagai ilmu hitungan, matematika merupakan salah satu mata pelajaran yang mungkin kurang bersahabat dengan beberapa jenis manusia. Tulisan ini hanya membahas teknik dasar untuk meningkatkan kemampuan matematika dasar alias aritmatika.

Dasar-dasar melakukan penjumlahan atau pengurangan bilangan yang hanya mengandung satu digit pasti merupakan pekerjaan yang mudah bagi hampir semua orang. Seorang anak kelas satu SD dengan mudah akan menjawab 2 jika ditanya 1 + 1 sama dengan berapa. Demikian juga misalnya 2 tambah 7, pasti di dalam kepala. Persoalan mulai muncul saat kita menambahkan 43 dengan 74 atau mengurangkan 56 dari 83. Perhitungan seperti ini mungkin sangat mudah bagi orang yang pintar, tetapi mungkin sebaliknya bagi yang kemampuan intelektualnya pas-pasan. Ada solusikah untuk mengatasinya ?

Ibarat pepatah sangat kuno yang mengatakan banyak jalan menuju Flores, demikian pula dalam mempelajari matematika. Terdapat banyak teknik untuk memudahkan kita melakukan perhitungan dasar seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian atau pembagian. Semoga tulisan sederhana ini dapat membantu menambah laju pertumbuhan kecerdasan berhitung, bertambah, berkurang, berkali dan berbagi anda. Selamat mencoba resep berikut ini, semoga barang dagangan anda laris manis di pasaran karena pembeli tidak harus menunggu bermenit-menit hanya karena anda lama menghitung uang kembalian hanya untuk penjualan sebatang rokok, serta dorongan rasa kagum yang mendalam dari para pembeli karena kecepatan berhitung anda.Let’s go, tancap gas…..

1. Penjumlahan. Siapkan amunisi. Pikirkan bilangan yang ingin anda hitung. Untuk memudahkan anda maka langsung saya pandu dari studio gurumuda. Misalnya 37 tambah 65. anda dapat mengakalinya dengan membulatkan salah satu bilangan, misalnya 37 menjadi 40. lalu jumlahkan 40 dengan 65. hasilnya adalah 105 (gini ma anak SD juga cepat). selanjutnya, kurangkan 105 dengan nilai yang ditambahkan tadi (3) alias 105 - 3. dihitung sendiri ya hasil akhirnya.
2. Pengurangan. Misalnya anda mengurangkan 57 dari 94 alias 94 - 57. bulatkan bilangan yang anda kurangkan (57) ke dalam bentuk puluhan (60). Selanjutnya tambahkan nilai pembulatan yang sama (3) pada bilangan kedua (94) sehingga anda memperoleh 97. Sekarang kurangkan bilangan sebelumnya (60) dengan jumlah tersebut (97) alias 97 - 60 = 37. mudah dan menyenangkan.
3. Perkalian. Misalnya 400 kali 7.000. apabila kedua bilangan yang hendak dikalikan diakhiri dengan angka nol (seperti pada contoh), kalikan dua bilangan tanpa nol alias 4 x 7 = 28. selanjutnya tambahkan jumlah angka nol (ada 5 angka nol) pada hasil perkaliannya (28) untuk memperoleh jawaban akhir (2.800.000)
4. perkalian dua bilangan yang lebih dari satu digit. Misalnya 23 kali 37 alias 23 x 37. pecah dua bilangan tersebut ke dalam dua bilangan yang lebih mudah misalnya 20 x 37, dan 3 x 37. kalikan bagian yang pertama (20 x 37 = 740), lalu bagian yang kedua (3 x 37 = 111). Selanjutnya tambahkan kedua bilangan yang anda peroleh (740 + 111) untuk mendapatkan hasil akhirnya.

Demikian tulisan singkat ini, semoga bermanfaat. Lakukanlah keempat teknik sederhana tersebut selama satu atau dua hari, bila perlu 1 atau 2 minggu. Percayalah, kecerdasan matematika anda akan menyaingi eyang Einstein 

tetap mencintaimu

Mungkin seakan semua jalan tertutup,
Tapi aku mencintaimu.
Mungkin untuk bersama mu aku harus melawan arus,
Tapi aku mencintai mu.
Mungkin berada di sampingmu bagi diriku hanya mimpi,
Tapi aku mencintai mu,
Mungkin ‘kita’ akan seperti bintang yang sulit digapai,
Tapi aku mencintai mu.
Mungkin memilihmu adalah pilihan pahit tanpa kepastian,
Biarlah karena aku mencintai mu.
Sesederhana itu,

Sepedih itu

Seindah itu.

Realistic Mathematics Education

Realistic Mathematics Education (RME) merupakan pengajaran matematika yang bertumpu pada aktivitas manusia. Dalam RME, belajar matematika artinya mengerjakan matematika. Aih-alih hanya melihat konsep, melalui RME murid diharapkan dapat mere-konstruksi pemahaman mengenai matematika dengan cara mereka sendiri, dan bukan sekadar tempelan informasi yang diperoleh dari guru. Adanya internalisasi sekaligus berimplikasi pada perubahan relasi murid-guru yang mulanya berjalan satu arah menjadi interaktif.

Salah satu contoh penerapan RME adalah dalam pengajaran geometri di sekolah dasar. Jika dulu kita diperkenalkan pada konsep ruang melalui panjang dan lebar, maka kini konsep tersebut dapat diperumum dengan memperkenalkan konsep-konsep harga, berat dan gelas yang terisi. Relasi antara ukuran tidak terbatas pada sebuah bentuk ‘rapih’, namun pada bagaimana logika menyusun relasi antara keduanya. Hal yang penting dalam konsep belajar ini adalah cara menyusun keterkaitan dan konsistensi. Sebagai ilustrasi adalah satuan suhu yang digunakan di berbagai negara. Celcius, fahrenheit, kelvin, reamur. Dengan memahami transformasi antara satu satuan dengan satuan lainnya, dengan mudah kita dapat memahami perbedaan satuan yang digunakan. Begitupula dengan belajar mengenai paramater (ukuran), hal yang penting adalah menyusun logika untuk parameter yang kita gunakan.

Adanya proses internalisasi ini sekaligus memungkinkan murid memiliki cara sendiri dalam memecahkan masalah, tidak seperti apa yang diajarkan oleh guru. Dengan adanya kemungkinan ini, guru pun posisinya mnjadi tak jauh berbeda dengan murid, karena harus senantiasa belajar dan mengapresiasi kreativitas murid. Dan untuk implementasi di lapangan, rasio guru dan murid juga menjadi angka yang harus dipertimbangkan.

“Rahasia” Teka-teki Matematika

Berikut ini satu contoh teka-teki yang sangat terkenal*. Sering dipakai oleh banyak orang untuk berteka-teki. Walaupun “angka-angka” dan konteks yang dipakai dalam teka-teki berikut ini seringkali berbeda, tetapi prinsip teka-tekinya tetaplah sama**.

Tiga sekawan masuk ke hotel untuk menginap. Kata petugas, harga sewa kamarnya Rp. . Masing-masing mengumpulkan uang Rp. untuk membayarnya. Setelah ketiga orang tadi pergi menuju kamar, sang petugas sadar bahwa harga sewa kamarnya seharusnya cuma Rp. .

Kemudian sang petugas meminta Bel-boy untuk menyerahkan uang Rp. kepada ketiga orang tadi. Karena uang Rp. berbentuk pecahan Rp , si Bel-boy hanya menyerahkan uang kepada ketiga orang tadi sebesar Rp. , sedangkan yang Rp. disimpan untuknya. Uang yang Rp. tersebut dibagi-bagi ke tiga orang tadi, masing-masing Rp..

Sehingga, bila dihitung-hitung, masing-masing orang hanya membayar Rp. . Jadi, bertiga sebenarnya membayar Rp. Rp . Bila ditambahkan ke uang Rp. yang dipegang si Bel-boy, maka jumlahnya Rp. . Lantas yang Rp. lagi ke mana?

Bagaimana, apakah Anda dapat memecahkan teka-teki tersebut? Bila belum, Anda boleh membaca pemecahannya seperti uraian berikut. Bila Anda dapat memecahkannya, saya ucapkan selamat atas keberhasilannya. Namun Anda pun boleh membandingkannya dengan cara pemecahan berikut ini.

Sebenarnya uang yang Rp. tidak pergi ke mana-mana. Tidak hilang, tidak lenyap. Jumlah uang yang beredar di teka-teki tersebut tetap saja Rp . Tapi apa buktinya? Mari kita hitung perlahan-lahan.

Uang yang diterima petugas mula-mula Rp. kemudian diserahkan ke Bel-boy Rp. sehingga uang yang kini dipegang petugas Rp. .

Oleh Bel-boy, uang sebesar Rp. cuma diserahkan sebesar Rp. ke ketiga orang tadi. Sehingga si Bel-boy sekarang memegang Rp. .

Karena ketiga orang tersebut menerima kembali uang mereka sebesar Rp. dan masing-masing orang kebagian Rp. , maka ini artinya mereka masing-masing mengeluarkan uang Rp. . Karena ada tiga orang, ini artinya mereka bersama mengeluarkan Rp. Rp. . Nah, jumlah uang ini sama dengan uang yang dipegang petugas (Rp. ) ditambah uang yang sekarang dipegang Bel-boy (Rp. ), yaitu Rp. Rp. Rp. .

Nah, bila uang Rp. itu kita tambah dengan uang yang diserahkan ke ketiga orang tadi, yaitu Rp. maka jumlah uang yang beredar pada teka-teki tersebut adalah tetap, yaitu Rp. .

Walaupun teka-teki tersebut biasanya hanya untuk selingan ketika kita ngobrol dengan teman-teman, di warung kopi misalnya, tapi teka-teki semacam ini bisa bermanfaat bila diterapkan di dunia pendidikan kita. Setidaknya, bisa digunakan untuk memancing siswa agar tertarik pada pelajaran matematika atau bahasa.

Lantas, apa saja guna teka-teki tersebut bagi dunia pendidikan kita, bagi siswa-siswi kita di sekolah? Bila memang berguna bagaimana menyajikannya?

Menurut saya, teka-teki semacam ini, selain dapat digunakan sebagai selingan pada pelajaran matematika, juga dapat digunakan pada pelajaran bahasa. Kenapa? Karena dalam teka-teki ini kecermatan penggunaan kata dan kalimat sangat berperan dalam memahami dan menyelesaikan masalah pada teka-teki ini.

Dengan perkataan lain, teka-teki ini selain mengajari kelihaian bermatematika juga mengajari keterampilan “bersilat kata” dalam pelajaran bahasa. Jadi, untuk kasus teka-teki ini, terlihat jelas kaitan antara pelajaran matematika dan bahasa, yang sama-sama merupakan “sarana” untuk berfikir, bersilat “angka” dan bersilat “kata” dalam waktu yang nyaris bersamaan***.

Oh, iya. Bisa jadi teka-teki semacam ini dapat digunakan untuk menarik minat masyarakat pembaca yang katanya pusing bila berhadapan dengan “angka-angka biasa” dalam matematika, tapi tidak pusing bahkan senang bila berhadapan dengan “angka-angka” yang terkait dengan uang. Mungkin teka-teki semacam inilah yang bisa dijadikan contoh bagi macam pembaca tersebut. Semoga!

Oh, iya lagi. Untuk kali ini saya sengaja tidak menyajikan ide dan cara bagaimana teka-teki ini disajikan dengan menarik pada siswa-siswi di sekolah. Oleh karena itu, saya nantikan pendapat Anda sekalian, khususnya bapak atau ibu guru matematika atau bahasa. Sekali-kali boleh juga bukan? Saya undang Anda untuk menyumbangkan ide dan sarannya, di kolom komentar tentunya. Atas sumbangan ide dan sarannya saya ucapkan terimakasih.

Mahasiswa MIPA Raih Perunggu di Ajang Olimpiade Matematika Internasional

ym>>>UGM kembali menorehkan prestasi gemilang di tingkat internasional. Tiga mahasiswa Fakultas Matematikan dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA) berhasil menyabet medali perunggu di dua ajang berbeda di Olimpiade Matematika tingkat internasional di Iran dan Bulgaria. Salah satunya, Albert Gunawan (20), berhasil meraih perunggu (third prize) pada ajang 15th International Mathematics Competition for University Students (IMC) di Blagoevgrad, Bulgaria, 25 - 31 Juli 2008. Di ajang ini, Indonesia mengirimkan 4 peserta dari beberapa universitas yang lolos seleksi nasional dan hanya Albert yang pulang dengan hasil bagus.

“Meskipun mendapat third prize, prestasi ini patut membuat kita bangga. Setidaknya UGM berhasil mempertahankan posisi yang diraihnya tahun lalu,” ujar Prof Dr Widodo MS, ketua jurusan Matematika FMIPA UGM di sela-sela mendampingi para pemenang saat bincang-bincang dengan wartawan, Rabu (6/8) di Ruang Fortakgama UGM.

Selain Albert, ungkap Widodo, dua mahasiswa FMIPA UGM lainnya, Nugroho Seto Saputra (19) dan Andy Hermawan (22) juga meraih perunggu pada Int'l Scientific Olympiad on Mathematics (ISOM) di Teheran, Iran, 15 - 18 Juli 2008.

“Di Iran, Indonesia diperkuat 5 peserta dari beberapa universitas yang telah lolos seleksi nasional juga. Dari 5 peserta ini, tiga diantaranya pulang menjadi juara,” katanya.

Albert Gunawan (20), dengan penampilan kaca mata minusnya mengaku sangat berbahagia sekali bisa meraih perunggu di Bulgaria, karena dirinya berhasil bersaing dengan 240 peserta yang berasal dari 90 lebih perguruan tinggi yang berasal dari 38 negara.

“Tidak hanya dari perwakilan perguruan tinggi amerika, tapi juga dari Rusia, Iran, Rumania, dan beberapa negara eropa timur,” katanya.

Diakui oleh anak penjual kain di kota Temanggung ini, selama dua hari para peserta mengerjakan soal-soal yang disediakan oleh pihak panitia. Pada hari pertama, dirinya bersama dengan peserta lainnya mengerjakan enam buah soal matematika dengan diberikan waktu selama lima jam. Hal yang sama juga dilakukan pada hari kedua.

Menurut anak kedua dari pasangan Agus Suwanto dan Lanni Chandrawati ini, soal yang disediakan panitia merupakan soal matematika yang bersifat problem solving. Meski sulit, Albert mengaku memiliki trik-trik khusus untuk bisa mengerjakannya.

“Semua soal-soal ini dikerjakan dengan hati yang tenang. Jadi, memang harus kuat mentalnya, jangan menyerah jika belum menemukan jawaban pada salah satu soal, sebab jika menyerah maka mental kita akan jatuh, sehingga akan mempengaruhi proses pengerjaan soal selanjutnya,” tegasnya.

Sementara Nugroho Seto Saputra dan Andy Hermawan, mengaku di Iran mereka berdua bersaing dengan 80 peserta dari tujuh negara beberapa diantaranya peserta dari Iran, Pakistan,Armenia, Ukraina, dan Siria. Meski medali emas dan perak tetap di dominasi oleh Iran dan Ukraina, namun dua mahasiswa ini mengaku bangga bisa membawa harum nama Indonesia di tingkat internasional.

Nugroho Seto Saputra yang baru menginjak semester dua tahun ini menjelaskan belajar matematika harus dimulai dengan perasaan senang dan suka dengan pelajaran ini. Apalagi menjadikannya sebagai momok dan menakutkan. Hal ini pula yang dilakukannya saat di bangku sekolah, sehingga pernah juara di bidang matematika di Olimpiade Science Nasional.

“Matematika harus dijadikan pembelajaran yang menyenangkan, kita harus suka dengan matematika, dan membayangkan matematika dengan persoalan kehidupan sehari-hari, jangan berpikir angka-angka,” kata alumni SMA 3 Yogyakarta ini.

Bisakah Kita Mengenali Black Hole ?(astronomi)

MUNGKIN tidak ada objek astronomi yang sepopuler lubang hitam (black hole). Di dalam arena diskusi dengan masyarakat luas di setiap kesempatan, pertanyaan mengenai objek eksotik yang satu ini seakan tidak pernah lupa untuk dilontarkan. Siapa sangka, istilah yang pertama kali diberikan oleh John Archibald Wheeler pada 1969 sebagai ganti nama yang terlalu panjang, yaitu completely gravitational collapsed stars, ini menjadi sedemikian akrab di kalangan awam sekalipun?

Konsep lubang hitam pertama kali diajukan oleh seorang matematikawan-astronom berkebangsaan Jerman, Karl Schwarzschild, pada tahun 1916 sebagai solusi eksak dari persamaan medan Einstein (Relativitas Umum). Penyelesaian berupa persamaan diferensial orde dua nonlinear--yang dihasilkan Schwarzschild hanya dengan bantuan pensil dan kertas kala itu--sangat memikat Einstein. Pasalnya, relativitas umum yang bentuk finalnya telah dipaparkan Einstein di Akademi Prusia pada 25 November 1915, oleh penemunya sendiri "hanya" berhasil dipecahkan dengan penyelesaian pendekatan. Bahkan dalam perkiraan Einstein, tidak akan mungkin menemukan solusi eksak dari persamaan medan temuannya tersebut.

Istilah lubang hitam sendiri menggambarkan kondisi kelengkungan ruang-waktu di sekitar benda bermassa dengan medan gravitasi yang sangat kuat. Menurut teori relativitas umum, kehadiran massa akan mendistorsi ruang dan waktu. Dalam bahasa yang sederhana, kehadiran massa akan melengkungkan ruang dan waktu di sekitarnya. Ilustrasi yang umum digunakan untuk mensimulasikan kelengkungan ruang di sekitar benda bermassa dalam relativitas umum adalah dengan menggunakan lembaran karet sangat elastis untuk mendeskripsikan ruang 3 dimensi ke dalam ruang 2 dimensi.

Bila kita mencoba menggelindingkan sebuah bola pingpong di atas hamparan lembaran karet tersebut, bola akan bergerak lurus dengan hanya memberi sedikit tekanan pada lembaran karet. Sebaliknya, bila kita letakkan bola biliar yang massanya lebih besar (masif) dibandingkan bola pingpong, akan kita dapati lembaran karet melengkung dengan cekungan di pusat yang ditempati oleh bola biliar tersebut. Semakin masif bola yang kita gunakan, akan semakin besar tekanan yang diberikan dan semakin dalam pula cekungan pusat yang dihasilkan pada lembaran karet.

Sudah menjadi pengetahuan publik bila gerak Bumi dan planet-planet lain dalam tata surya mengorbit Matahari sebagai buah kerja dari gaya gravitasi, sebagaimana yang telah dibuktikan oleh Isaac Newton pada tahun 1687 dalam Principia Mathematica-nya. Melalui persamaan matematika yang menjelaskan hubungan antara kelengkungan ruang dan distribusi massa di dalamnya, Einstein ingin memberikan gambaran tentang gravitasi yang berbeda dengan pendahulunya tersebut. Bila sekarang kita menggulirkan bola yang lebih ringan di sekitar bola yang masif pada lembaran karet di atas, kita menjumpai bahwa bola yang ringan tidak lagi mengikuti lintasan lurus sebagaimana yang seharusnya, melainkan mengikuti kelengkungan ruang yang terbentuk di sekitar bola yang lebih masif. Cekungan yang dibentuk telah berhasil "menangkap" benda bergerak lainnya sehingga mengorbit benda pusat yang lebih masif tersebut. Inilah deskripsi yang sama sekali baru tentang penjelasan gerak mengorbitnya planet-planet di sekitar Matahari a la relativitas umum. Dalam kasus lain bila benda bergerak menuju ke pusat cekungan, benda tersebut tentu akan tertarik ke arah benda pusat. Ini juga memberi penjelasan tentang fenomena jatuhnya meteoroid ke Matahari, Bumi, atau planet-planet lainnya.

Radius kritis

Melalui persamaan matematisnya yang berlaku untuk sembarang benda berbentuk bola sebagai solusi eksak atas persamaan medan Einstein, Schwarzschild menemukan bahwa terdapat suatu kondisi kritis yang hanya bergantung pada massa benda tersebut. Bila jari-jari benda tersebut (bintang misalnya) mencapai suatu harga tertentu, ternyata kelengkungan ruang-waktu menjadi sedemikian besarnya sehingga tak ada satupun yang dapat lepas dari permukaan benda tersebut, tak terkecuali cahaya yang memiliki kelajuan 300.000 kilometer per detik! Jari-jari kritis tersebut sekarang disebut Jari-jari Schwarzschild, sementara bintang masif yang mengalami keruntuhan gravitasi sempurna seperti itu, untuk pertama kalinya dikenal dengan istilah lubang hitam dalam pertemuan fisika ruang angkasa di New York pada tahun 1969.

Untuk menjadi lubang hitam, menurut persamaan Schwarzschild, Matahari kita yang berjari-jari sekira 700.000 kilometer harus dimampatkan hingga berjari-jari hanya 3 kilometer saja. Sayangnya, bagi banyak ilmuwan kala itu, hasil yang diperoleh Schwarzschild dipandang tidak lebih sebagai sebuah permainan matematis tanpa kehadiran makna fisis. Einstein termasuk yang beranggapan demikian. Akan terbukti belakangan, keadaan ekstrem yang ditunjukkan oleh persamaan Schwarzschild sekaligus model yang diajukan fisikawan Amerika Robert Oppenheimer beserta mahasiswanya, Hartland Snyder, pada 1939 yang berangkat dari perhitungan Schwarzschild berhasil ditunjukkan dalam sebuah simulasi komputer.

Kelahiran lubang hitam

Bagaimana proses fisika hingga terbentuknya lubang hitam? Bagi mahasiswa tingkat sarjana di Departemen Astronomi, mereka mempelajari topik ini di dalam perkuliahan evolusi Bintang. Waktu yang diperlukan kumpulan materi antarbintang (sebagian besar hidrogen) hingga menjadi "bintang baru" yang disebut sebagai bintang deret utama (main sequence star), bergantung pada massa cikal bakal bintang tersebut. Makin besar massanya, makin singkat pula waktu yang diperlukan untuk menjadi bintang deret utama. Energi yang dimiliki "calon" bintang ini semata-mata berasal dari pengerutan gravitasi. Karena pengerutan gravitasi inilah temperatur di pusat bakal bintang menjadi meninggi.

Dari mana bintang-bintang mendapatkan energi untuk menghasilkan kalor dan radiasi, pertama kali dipaparkan oleh astronom Inggris Sir Arthur Stanley Eddington. Sir Eddington juga yang pernah memimpin ekspedisi gerhana Matahari total ke Pulau Principe di lepas pantai Afrika pada 29 Mei 1919 untuk membuktikan ramalan teori relativitas umum tentang pembelokan cahaya bintang di dekat Matahari. Meskipun demikian, fisikawan nuklir Hans Bethe-lah yang pada tahun 1938 berhasil menjelaskan bahwa reaksi fusi nuklir (penggabungan inti-inti atom) di pusat bintang dapat menghasilkan energi yang besar. Pada temperatur puluhan juta Kelvin, inti-inti hidrogen (materi pembentuk bintang) mulai bereaksi membentuk inti helium. Energi yang dibangkitkan oleh reaksi nuklir ini membuat tekanan radiasi di dalam bintang dapat menahan pengerutan yang terjadi. Bintang pun kemudian berada dalam kesetimbangan hidrostatik dan akan bersinar terang dalam waktu jutaan bahkan milyaran tahun ke depan bergantung pada massa awal yang dimilikinya.

Semakin besar massa awal bintang, semakin cepat laju pembangkitan energinya sehingga semakin singkat pula waktu yang diperlukan untuk menghabiskan pasokan bahan bakar nuklirnya. Manakala bahan bakar tersebut habis, tidak akan ada lagi yang mengimbangi gravitasi, sehingga bintang pun mengalami keruntuhan kembali.

Nasib akhir sebuah bintang ditentukan oleh kandungan massa awalnya. Artinya, tidak semua bintang akan mengakhiri hidupnya sebagai lubang hitam. Untuk bintang-bintang seukuran massa Matahari kita, paling jauh akan menjadi bintang katai putih (white dwarf) dengan jari-jari lebih kecil daripada semula, namun dengan kerapatan mencapai 100 hingga 1000 kilogram tiap centimeter kubiknya! Tekanan elektron terdegenerasi akan menahan keruntuhan lebih lanjut sehingga bintang kembali setimbang. Karena tidak ada lagi sumber energi di pusat bintang, bintang katai putih selanjutnya akan mendingin menjadi bintang katai gelap (black dwarf).

Untuk bintang-bintang dengan massa awal yang lebih besar, setelah bintang melontarkan bagian terluarnya akan tersisa bagian inti yang mampat. Jika massa inti yang tersisa tersebut lebih besar daripada 1,4 kali massa Matahari (massa Matahari: 2x10 pangkat 30 kilogram), gravitasi akan mampu mengatasi tekanan elektron dan lebih lanjut memampatkan bintang hingga memaksa elektron bergabung dengan inti atom (proton) membentuk netron. Bila massa yang dihasilkan ini kurang dari 3 kali massa Matahari, tekanan netron akan menghentikan pengerutan untuk menghasilkan bintang netron yang stabil dengan jari-jari hanya belasan kilometer saja. Sebaliknya, bila massa yang dihasilkan pasca ledakan bintang lebih dari 3 kali massa Matahari, tidak ada yang bisa menahan pengerutan gravitasi. Bintang akan mengalami keruntuhan gravitasi sempurna membentuk objek yang kita kenal sebagai lubang hitam. Bila bintang katai putih dapat dideteksi secara fotografik dan bintang netron dengan teleskop radio, lubang hitam tidak akan pernah dapat kita lihat secara langsung!

Mengenali lubang hitam

Bila memang lubang hitam tidak akan pernah bisa kita lihat secara langsung, lantas bagaimana kita bisa meyakini keberadaannya? Untuk menjawab pertanyaan ini, John Wheeler sebagai tokoh yang mempopulerkan istilah lubang hitam, memiliki sebuah perumpamaan yang menarik. Bayangkan Anda berada di sebuah pesta dansa di mana para pria mengenakan tuksedo hitam sementara para wanita bergaun putih panjang. Mereka berdansa sambil berangkulan, dan karena redupnya penerangan di dalam ruangan, Anda hanya dapat melihat para wanita dalam balutan busana putih mereka. Nah, wanita itu ibarat bintang kasat mata sementara sang pria sebagai lubang hitamnya. Meskipun Anda tidak melihat pasangan prianya, dari gerakan wanita tersebut Anda dapat merasa yakin bahwa ada sesuatu yang menahannya untuk tetap berada dalam "orbit dansa".

Demikianlah para astronom dalam mengenali keberadaan sebuah lubang hitam. Mereka menggunakan metode tak langsung melalui pengamatan bintang ganda yang beranggotakan bintang kasat mata dan sebuah objek tak tampak. Beruntung, semesta menyediakan sampel bintang ganda dalam jumlah yang melimpah. Kenyataan ini bukanlah sesuatu yang mengherankan, sebab bintang-bintang memang terbentuk dalam kelompok. Hasil pengamatan menunjukkan bahwa di galaksi kita, Bima Sakti, terdapat banyak bintang yang merupakan anggota suatu gugus bintang ataupun asosiasi.

Telah disebutkan di atas bahwa medan gravitasi lubang hitam sangat kuat, jauh lebih kuat daripada bintang kompak lainnya seperti bintang �katai putih� maupun bintang netron. Dalam sebuah sistem bintang ganda berdekatan, objek yang lebih masif dapat menarik materi dari bintang pasangannya. Demikian pula dengan lubang hitam. lubang hitam menarik materi dari bintang pasangan dan membentuk cakram akresi di sekitarnya (bayangkan sebuah donat yang pipih bentuknya). Bagian dalam dari cakram yang bergerak dengan kelajuan mendekati kelajuan cahaya, akan melepaskan energi potensial gravitasinya ketika jatuh ke dalam lubang hitam. Energi yang sedemikian besar diubah menjadi kalor yang akan memanaskan molekul-molekul gas hingga akhirnya terpancar sinar-X dari cakram akresi tersebut. Sinar-X yang dihasilkan inilah yang digunakan oleh para astronom untuk mencurigai keberadaan sebuah lubang hitam dalam suatu sistem bintang ganda. Untuk lebih meyakinkan bahwa bintang kompak tersebut benar-benar lubang hitam alih-alih bintang �katai putih� ataupun bintang netron, astronom menaksir massa objek tersebut dengan perangkat matematika yang disebut fungsi massa. Bila diperoleh massa bintang kompak lebih dari 3 kali massa Matahari, besar kemungkinan objek tersebut adalah lubang hitam